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LU 분해, LU decomposition or LU factorization

LU 분해는 4x4 이상의 행렬에 대한 $Ax = b$ 형식의 연립일차방정식을 풀기위한 기술

L, 하삼각행렬(Lower traingular matrix)

  • 주대각 성분 아래에 있는 모든 성분이 0인 행렬
\[\begin{pmatrix}L_{11}&L_{12}\\0&L_{22}\\\end{pmatrix}\]
Lower traingular matrix


U, 상삼각행렬(Upper traingular matrix)

  • 주대각 성분 위에 있는 모든 성분이 0인 행렬
\[\begin{pmatrix}U_{11}&0\\U_{21}&U_{22}\\\end{pmatrix}\]
Upper traingular matrix


LU 분해 의의

컴퓨터를 통한 텐서연산을 위해 사용된다.

벡터 $b$가 서로 다른지만 같은 계수를 가지는 행렬 $A$에 대해, $Ax = b$ 형태의 많은 연립일차 방정식을 풀어야 하는 경우 특히 유용하다.

가우스 소거법은 벡터 $b$가 달라짐에 따라 가우스 소거법의 절차를 반복해야 돼, 사용하지 않는다.

LU 분해 목표

\[\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}L_{11}&L_{12}\\0&L_{22}\\\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}U_{11}&0\\U_{21}&U_{22}\\\end{pmatrix}\]
$A = L \cdot U$