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연립방정식, System of equations

방정식이란, 등호(=)를 기준으로 좌우의 수학적 표현이 동일함을 나타낸다.

$$x+2y+z=5$$


일차방정식이란, 지수가 최대 1인 방정식이다.

$$x=3,\;\;\;\;3x+y=5,\;\;\;\;3x+y+z+w=-8$$


연립일차방정식(Linear system)이란, 2개 이상의 일차방정식들의 모임이다. 열립일차방정식에서 공통되는 미지수가 연립일차방정식의 해이다.

$$\left\{\begin{matrix}x+2y-3z=3\\2x-y-z=11\\3x+2y+z=-5\end{matrix}\right.$$


가우스 소거법, Gaussian Elimination

행의 좌측 하단 모서리를 0으로 바꿔 삼각행렬을 만든다. 삼각행렬을 통해 마지막 미지수의 해를 구할 수 있게된다.

마지막 해를 통해 순차적으로 해를 구한다. 이와같이 마지막부터 순차적으로 해를 구하는걸 후방 대입이라고 한다.

$$\left\{\begin{matrix}x-3y+5z=-9\\2x-y-3z=19\\3x+y+4z=-13\end{matrix}\right.\to\left\{\begin{matrix}x-3y+5z=-9\\0x+5y-13z=37\\0x+0y+15z=-60\end{matrix}\right.$$


행 연산의 확장

마지막 미지수의 지수가 1이 되도록 만들어 미지수를 바로 구할 수 있다.

마지막 미지수를 통해 남은 미지수의 지수도 1로 만들 수 있다.

$$\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix}1&3&2\\0&-8&-11\\0&0&\frac{45}{4}\\\end{matrix}\right| \begin{matrix}13\\-49\\\frac{135}{4}\\\end{matrix} \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} \left.\begin{matrix}1&3&2\\0&-8&-11\\0&0&1\\\end{matrix}\right| \begin{matrix}13\\-49\\3\\\end{matrix} \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} \left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right| \begin{matrix}*\\*\\*\\\end{matrix} \end{pmatrix}$$


기약행 사다리꼴, reduced row echelon form, rref

기약행 사다리꼴의 조건

  1. 모든 성분이 0인 행렬은 마지막 행으로
  2. 0이 아닌 성분이 있는 행에서 첫 번째 성분은 1(선행 1)이다.
  3. 선행 1은 상위 행부터 하위 행까지 우측 하단으로 단계적으로 구성된다.
  4. 선행 1이 있는 열에는 선행 1을 제외하고 모두 성분 0이다.
$$\begin{pmatrix}0&1&0&8&0\\0&0&1&0&4\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{pmatrix},\;\;\; \begin{pmatrix}1&0&0&5\\0&1&0&-6\\0&0&1&9\\\end{pmatrix}, \;\;\; \begin{pmatrix}0&1&3&0&4&0&6\\0&0&0&1&5&0&-1\\0&0&0&0&0&1&9\\0&0&0&0&0&0&0\\\end{pmatrix}$$


가우스-조단 소거법, Gauss-Jordan Elimination

첨가행렬을 기약행 사다리꼴로 변환하는 과정

$$\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix}1&3&2\\0&-8&-11\\0&0&1\\\end{matrix}\right| \begin{matrix}13\\-49\\3\\\end{matrix} \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} \left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right| \begin{matrix}*\\*\\*\\\end{matrix} \end{pmatrix}$$