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기초

행렬, Matrix스칼라, Scalar 혹은 벡터, Vector로 구성되어 있다.

스칼라, Scalar는 행렬을 구성하는 각 숫자를 의미하며 크기만을 가진다, 요소, 원소라고 한다.

벡터, Vector스칼라, Scalar의 집합이며 크기와 방향을 가진다, 행벡터(Row Vector)열벡터(Column Vector) 두가지로 나뉜다.

텐서, Tensor는 n차원으로 일반화한 행렬을 뜻한다.

대각 행렬, Diagonal matrix란 대각( \ ) 이외의 모든 성분이 0인 행렬

단위 행렬, Identity matrix정사각 행렬, Square matrix로서 주 대각선 원소가 모두 1이며, 나머지 원소는 0이다.

전치 행렬, Transposed matrix란 기존의 행과 열을 바꾼 행렬

스칼라 곱의 의미

스칼라행렬을 곱하면 행렬의 모든 원소를 스칼라 배 한다.

\[x\cdot\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}xA_{11}&xA_{12}\\xA_{21}&xA_{22}\\xA_{31}&xA_{32}\end{bmatrix}\]
Scalar $x$, matrix $A$, 스칼라 행렬 곱


스칼라 행렬 곱은 단순히 행렬에 정수배하는 것만이 아닌 벡터로서의 의미도 가진다.

\[\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}A_{31}&A_{32}\end{bmatrix}\]

행렬 $A$는 벡터 3개로 나뉠 수 있다. 각 벡터는 기저로서 독립된 방향을 가진다.

\[x \cdot(\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}A_{31}&A_{32}\end{bmatrix}) \to \begin{bmatrix}xA_{11}&xA_{12}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}xA_{21}&xA_{22}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}xA_{31}&xA_{32}\end{bmatrix}\]

스칼라 배 된 벡터는 동일한 방향에서 스칼라 배 만큼 커진 크기를 가진다.

행렬곱, matrix Multiplication

행렬간 서로 곱하는 것을 의미하며, 특정 조건을 만족해야 연산이 가능하다.

\[A_{m, r} \cdot B_{r, n} = AB_{m, n}\]

행렬 $A$의 열과 행렬 $B$의 행의 수가 같아야한다.

역행렬, Inverse matrix

행렬 $A$에 대해서 $AB=I$를 만족하는 행렬 $B$가 존재한다.

여기서 $B$는 $A^{-1}$로 표기한다.

\[AA^{-1} = A^{-1}A = I\]

역행렬이 존재하는 조건은 행렬식이 0이 아니되어야 한다.

역행렬이 존재하는 행렬을 가역행렬, Invertible matrix라고 한다.

내적, Inner Product

적은 ‘쌓는다’는 뜻의 한자이고, 여기서는 ‘곱한다’는 뜻이다. 벡터의 곱하기는 두 가지 정의가 있는데, 내적은 벡터를 마치 수처럼 곱하는 개념이다.[1]

벡터의 내적 결괏값은 스칼라이다.

\[<u, v> = u \cdot v = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + \cdots + u_{n}v_{n}\]

두 열벡터 중 하나의 벡터를 전치(Transpose)시켜 행벡터로 변환한 후 벡터 곱 연산을 한다.

\[<u, v> = u^{T}v\]

내적을 통해 노름, norm을 구하거나 벡터 사이의 관계를 파악할 수 있다.

삼각비를 통한 내적 해석

삼각비란 직각삼각형의 세 변의 길이 중 두 변의 길이간의 비례 관계를 나타내는 값이다[2]

삼각비 공식

\[Sin\seta\]
참고문헌

1. 042. 내적 vs 외적, 수학 용어를 알면 개념이 보인다, https://wikidocs.net/22384

2. 삼각비, 나무위키, https://namu.wiki/w/삼각비