(한 걸음씩 알아가는 선형대수학) 1. 일차방정식과 행렬

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연립방정식, System of equations

방정식이란, 등호(=)를 기준으로 좌우의 수학적 표현이 동일함을 나타낸다.

$$x+2y+z=5$$

일차방정식이란, 지수가 최대 1인 방정식이다.

$$x=3,3x+y=5,3x+y+z+w=-8$$

연립일차방정식(Linear system)이란, 2개 이상의 일차방정식들의 모임이다. 열립일차방정식에서 공통되는 미지수가 연립일차방정식의 해이다.

$$\{\begin{array}{c}x+2y-3z=3\\ 2x-y-z=11\\ 3x+2y+z=-5\end{array}$$

가우스 소거법, Gaussian Elimination

행의 좌측 하단 모서리를 0으로 바꿔 삼각행렬을 만든다. 삼각행렬을 통해 마지막 미지수의 해를 구할 수 있게된다.

마지막 해를 통해 순차적으로 해를 구한다. 이와같이 마지막부터 순차적으로 해를 구하는걸 후방 대입이라고 한다.

$$\{\begin{array}{c}x-3y+5z=-9\\ 2x-y-3z=19\\ 3x+y+4z=-13\end{array}\to \{\begin{array}{c}x-3y+5z=-9\\ 0x+5y-13z=37\\ 0x+0y+15z=-60\end{array}$$

행 연산의 확장

마지막 미지수의 지수가 1이 되도록 만들어 미지수를 바로 구할 수 있다.

마지막 미지수를 통해 남은 미지수의 지수도 1로 만들 수 있다.

$$\left(\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 0& -8& -11\\ 0& 0& \frac{45}{4}\end{array}|\begin{array}{c}13\\ -49\\ \frac{135}{4}\end{array}\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 0& -8& -11\\ 0& 0& 1\end{array}|\begin{array}{c}13\\ -49\\ 3\end{array}\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}|\begin{array}{c}\ast \\ \\ \end{array}\end{array}\right)$$

기약행 사다리꼴, reduced row echelon form, rref

기약행 사다리꼴의 조건

1. 모든 성분이 0인 행렬은 마지막 행으로
2. 0이 아닌 성분이 있는 행에서 첫 번째 성분은 1(선행 1)이다.
3. 선행 1은 상위 행부터 하위 행까지 우측 하단으로 단계적으로 구성된다.
4. 선행 1이 있는 열에는 선행 1을 제외하고 모두 성분 0이다.

$$\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 8& 0\\ 0& 0& 1& 0& 4\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 5\\ 0& 1& 0& -6\\ 0& 0& 1& 9\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccccccc}0& 1& 3& 0& 4& 0& 6\\ 0& 0& 0& 1& 5& 0& -1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 9\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

가우스-조단 소거법, Gauss-Jordan Elimination

첨가행렬을 기약행 사다리꼴로 변환하는 과정

$$\left(\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 0& -8& -11\\ 0& 0& 1\end{array}|\begin{array}{c}13\\ -49\\ 3\end{array}\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}|\begin{array}{c}\ast \\ \\ \end{array}\end{array}\right)$$