FEM Seminar 1 - FEM 기초

📚 공부 주제: 유한 요소법 기초

1. FEM(유한 요소법) 이란?

FEM, 유한요소법은 복잡한 공학 및 무리 문제를 컴퓨터를 이용해 수치적으로 해결하는 강력한 해석 기법이다. 눈에 보이지 않는 힘의 작용, 열의 이동, 유체의 흐름 등 어려운 미분방정식으로 표현되는 현상들을 눈으로 확인 가능한 형태로 시뮬레이션하여 보여준다.

핵심 원리는 분할과 정복에 있다. 해석하려는 복잡한 형상의 대상물을 ‘유한(Finite)’개의 단순한 기하학적 모양(삼각형, 사각형 등)인 ‘요소(Element)’로 잘게 나눠, 각 요소의 거동(움직임)을 비교적 간단한 수학적 관계로 근사화하여 계산하고, 이를 전체적으로 통합하여 예측하는 방식이다.

1. 분할 (Divide)
   • 주어진 문제를 더 이상 나눌 수 없을 때까지 비슷한 유형의 여러 작은 문제로 쪼갠다.
2. 정복 (Conquer)
   • 나누어진 작은 문제들은 크기가 작고 단순하기 때문에 해결하기가 쉬워, 각 문제를 개별적으로 해결한다.
3. 통합 (Combine)
   • 해결된 작은 문제들의 답을 다시 원래의 큰 문제에 맞게 합쳐, 최종적인 해답을 얻는다.

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2. 핵심 키워드 설명

• 근사 해 : $u_h = \sum_{i=1}^{DOF}\alpha_{i}\psi_{i}$

  • $u_{h}$: FEM으로 계산된 근사 해 (approximate solution). 실제 해 $u$를 완벽하게 알 수 없기 때문에, $u$ 대신 $u_{h}$로 계산.

  • $\alpha_{i}$ : 해의 계수 (또는 자유도 값, DOF 값). 이 값은 FEM 해석 과정에서 계산되는 수치 결과(변수). 예: 변위, 온도 등

  • $\psi_{i}$ : 기저 함수(basis function) 또는 형상 함수(shape function). 각 요소나 노드에서 해를 근사하기 위해 사용되는 함수.

  • $DOF$ : 전체 시스템에서의 자유도(Degree of Freedom) 개수, FEM 시스템의 변수 개수로 사용.

  • 식의 의미 : FEM은 해 $u(x)$를 정확히 구할 수 없기 때문에, 기저 함수들의 선형 결합으로 근사한다. 즉, $u_h(x) = \alpha_1 \psi_1(x) + \alpha_2 \psi_2(x) + \cdots + \alpha_n \psi_n(x)$ 이처럼 $\psi_{i}(x)$라는 간단한 함수들을 여러 개 합쳐서, 복잡한 해 $u(x)$를 근사한다.

Figure 1. 차원별 유한요소 종류

• 요소(Element)
  • FEM에서 복잡한 연속체(예: 구조물, 기계부품, 뼈, 날개 등)를 작은 조각들로 분할해서 분석할 때, 작은 조각 하나하나를 요소(Element) 라고 부른다.
  • 각 차원에서의 요소는?
    • 1차원 -> 선분(line segment or line element or linear element)
      • 두 노드로 구성된 1차원 요소
    • 2차원 -> 삼각형(triangular element) / 사각형(quadrilateral element)
      • 세 노드로 구성된 평면 요소 / 네 노드로 구성된 평면 요소
    • 3차원 -> 사면체(tetrahedral element) / 육면체(hexahedral element or brick element)
      • 네 꼭짓점의 3D 요소 / 여덟 꼭짓점과 여섯 면으로 구성된 벽돌 형태의 3D 요소
• 자코비안(Jacobian)
  • 좌표계 간의 변환율을 나타내는 도함수 행렬이다. 간단히 말해, 어떤 좌표계(예: 참조 좌표 $\hat{x}$에서 다른 좌표계(예: 실제 좌표 $x$)로 변환할 때, 한 점 근처의 변화를 얼마나 늘이거나 줄이는지를 나타내는 값이다.
• 아핀변환(Affine Transformation)
  • 선형 변환(linear transformation)과 이동(translation)을 합친 좌표계 변환 방법으로, 이 두 변환을 조합하면 도형이나 좌표를 선형적으로 왜곡하고 동시에 위치도 바꿀 수 있는 굉장히 유연한 변환 방식이다.

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3. 1차원 유한 요소법, 1D Finite Element Method

• 1차원 유한 요소법이란?
  • 유한 요소법(FEM)의 가장 기초적인 형태로, 주로 막대(bar), 빔(beam), 열전달 로드(rod) 등의 구조나 시스템을 해석하는 데 사용된다.
• 수식 표현
  • $u_{h}(x) = \sum_{i=1}^{2}\alpha_{i}\psi_{i}(x) = \alpha_{1}\psi_{1}(x) + \alpha_{2}\psi_{2}(x)$
• 요소 구간 : $x\in[0,1]$
  • 요소 구간이 $[0, 1]$인 이유
    • 정규 좌표계(natural coordinate)를 사용하기 위해
    • 실제 요소 구간이 [2, 5]일지라도, 정규 좌표계를 사용함으로써 모든 요소를 동일하게 해석할 수 있고, 한 번 정의한 형상 함수 및 적분 등의 계산을 모든 요소에 재사용 가능하다.
    • 실제 요소 구간(실제 좌표계, physical coordinates)을 정규화된 요소 구간 $\hat{x}\in[0,1]$으로 변환하여 단순하게 해석한다.
      • 실제 요소 -> 정규화된 요소 : $x = \alpha + (b - a)\hat{x}$
      • 정규화된 요소 -> 실제 요소 : $\hat{x} = (x - a) / (b - a)$
• 노드(Node) :
  • $ x = 0 $ 과 $ x = 1 $
• 형상 함수(Shape function) :
  • $\psi_{1}(x) = 1 - x$
  • $\psi_{2}(x) = x$
• 해의 근사 :
  • $u_{h}(x) = \alpha_{1}(1-x) + \alpha_{2}(x)$
• 해석적 의미 :
  • $\alpha_{1}$ 과 $\alpha_{2}$ 는 각각 노드에서의 물리량(예: 변위)
  • 해는 두 점 사이를 직선으로 보간한 형태

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4. 2차원 유한 요소법, 2D Finite Element Method

• 2차원 유한 요소법이란?
  • 2차원 FEM은, 1차원 FEM을 확장한 개념으로, 해석하려는 영역(예: 구조물의 단면, 판, 평면 영역 등)을 삼각형 또는 사각형 요소들로 분할하고, 각 요소 내에서 해(변위, 온도 등)를 보간하여 전체 해를 근사한다.
• 수식 표현
  • 선형 삼각형 요소(Linear Triangle Element)
    • $u_{h}(x, y) = \sum_{i=1}^{3}\alpha_{i}\psi_{i}(x, y) = \alpha_1 \psi_1(x, y) + \alpha_2 \psi_2(x, y) + \alpha_3 \psi_3(x, y)$
• 아핀 변환(Affine Transformation)
  • 왜 2차원 유한 요소법에서 아핀 변환이 사용되는가?
    • 일반적으로 유한 요소법에서는 참조 요소(reference element)를 사용하여 정형화된 공간에서 계산이 이뤄진다. 이미 계산돼 있는 참조 요소를 아핀 변환을 적용하여 실제 요소(physical element)로 변환한다. 이를 통해 구하고자하는 영역을 쉽게 계산할 수 있다.
• 삼각형 요소, Triangle Element
  • 선형 삼각형 요소, Reference Triangle, $T_{R}$ :

    • FEM에서 모든 삼각형 요소를 동일한 방식으로 해석하기 위해 사용하는 표준 삼각형. 일반적으로 세 꼭짓점을 갖는 단위 삼각형으로 정의됨

    • 이 정규화된 삼각형 위에서 형상 함수(shape function), 수치 적분(Gauss quadrature) 등을 정의하고, 모든 실제 삼각형 요소는 이 기준 삼각형으로부터의 아핀 사상(affine mapping)을 통해 변환됨.

\[T_{R} = \left\{ (\hat{x}, \hat{y}) \mid{\hat{x} \ge{0},\ \hat{y} \ge{0},\ \hat{x} + \hat{y} \le{1}} \right\}\]

* * 실제 삼각형 요소, Physical Triangle, $T_{P}$ : * 실제 해석 대상의 물리 공간(physical domain)에 존재하는 임의의 삼각형 요소이다. 예를 들어, 2D 구조물의 메쉬를 구성하는 삼각형들이 여기에 해당된다. * 이 실제 삼각형은 세 꼭짓점의 좌표 $ (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) $로 정의되고, 계산을 위해 기준 삼각형 $ T_R $에서 물리 삼각형 $ T_P $로의 아핀 변환이 적용된다:

\[(x, y) = x_1 + (x_2 - x_1)\hat{x} + (x_3 - x_1)\hat{y}\] \[(y, y) = y_1 + (y_2 - y_1)\hat{x} + (y_3 - y_1)\hat{y}\]

• • 🔁 $T_{R}$ 와 $T_{P}$ 비교

항목	Reference Triangle $ T_R $	Physical Triangle $ T_P $
정의	정규화된 기준 삼각형	실제 해석 대상 삼각형
좌표계	$ (\hat{x}, \hat{y}) \in [0,1] $	$ (x, y) \in \mathbb{R}^2 $
목적	형상 함수 정의, 수치 적분 통일	실제 도메인의 물리 정보 표현
변환	없음	$ T_R \to T_P $ 로 어파인 사상 적용됨

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5. 2차원 FEM의 삼각형 요소에 아핀 변환 적용

세 꼭짓점을 다음과 같이 정의한다:

노드	실제 좌표 $(x_i, y_i)$	참조 좌표 $(\hat{\xi}_i, \hat{\eta}_i)$
1	$(x_1, y_1)$	$(0, 0)$
2	$(x_2, y_2)$	$(1, 0)$
3	$(x_3, y_3)$	$(0, 1)$

이때 아핀 행렬 $A$와 이동 벡터 $\mathbf{b}$는 다음과 같이 정의된다:

\[A = \begin{bmatrix} x_2 - x_1 & x_3 - x_1 \\ y_2 - y_1 & y_3 - y_1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}\]

따라서 전체 매핑은 다음과 같다:

\[\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 - x_1 & x_3 - x_1 \\ y_2 - y_1 & y_3 - y_1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \hat{\xi} \\ \hat{\eta} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}\]

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6. 역변환 (실제 → 참조)

아핀 변환은 선형이므로 행렬 $A$가 가역적이면 역변환도 가능하다:

\[\begin{bmatrix} \hat{\xi} \\ \hat{\eta} \end{bmatrix} = A^{-1} \cdot \left( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} \right)\]

이 역변환은 적분점 또는 물리 좌표를 참조 좌표로 매핑할 때 매우 중요하게 사용된다.

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7. 3차원 유한 요소법, 3D Finite Element Method

• 3차원 유한 요소법(3D FEM)이란?

  • 3D FEM은 해석하려는 물리적 구조(예: 고체, 덩어리 구조물, 부피를 가진 시스템)를 3차원 요소들(예: 사면체, 육면체 등)로 분할하고, 각 요소 내에서 물리량(변위, 응력 등)을 보간하여 전체 해를 근사하는 방법이다.

• 기본 요소 형태

  • 사면체(Tetrahedron), 육면체(Hexahedron), 프리즘(Prism) 등이 사용되며, 이 중 사면체(Tetrahedral element)가 가장 기본적인 3차원 요소로 많이 쓰임.

• 기저 함수 표현 예

  • 선형 사면체 요소에서는 다음과 같이 4개의 shape function을 사용하여 해를 근사한다:
  \[u_h(x, y, z) = \sum_{i=1}^{4} \alpha_i \, \psi_i(x, y, z)\]

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8. 3차원 FEM의 사면체 요소에 아핀 변환 적용

기준 사면체(Reference Tetrahedron), $T_R$

• 보통 다음의 정규화된 점들을 꼭짓점으로 사용:

  • $(0, 0, 0)$
  • $(1, 0, 0)$
  • $(0, 1, 0)$
  • $(0, 0, 1)$

실제 사면체 요소(Physical Tetrahedron), $T_P$

• 실제 해석 대상에 존재하는 사면체 요소는 다음과 같은 꼭짓점 좌표를 가짐:

  • $(x_1, y_1, z_1)$
  • $(x_2, y_2, z_2)$
  • $(x_3, y_3, z_3)$
  • $(x_4, y_4, z_4)$

아핀 행렬 $A$ 및 이동 벡터 $\mathbf{b}$

기준점 $\hat{\mathbf{x}} = (\hat{\xi}, \hat{\eta}, \hat{\zeta})$를 실제 공간 $\mathbf{x} = (x, y, z)$로 매핑하는 식:

\[\mathbf{x} = A \cdot \hat{\mathbf{x}} + \mathbf{b}\]

여기서:

• $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$: 3D 선형 변환 행렬
• $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{3}$: 이동 벡터 (기준점 이동)

\[A = \begin{bmatrix} x_2 - x_1 & x_3 - x_1 & x_4 - x_1 \\ y_2 - y_1 & y_3 - y_1 & y_4 - y_1 \\ z_2 - z_1 & z_3 - z_1 & z_4 - z_1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix}\]

따라서 전체 매핑은:

\[\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = A \cdot \begin{bmatrix} \hat{\xi} \\ \hat{\eta} \\ \hat{\zeta} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix}\]

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9. 역변환 (실제 → 참조)

아핀 변환 $\mathbf{x} = A \hat{\mathbf{x}} + \mathbf{b}$는 선형이므로, 행렬 $A$가 가역적일 경우 다음과 같이 역변환이 가능하다:

\[\hat{\mathbf{x}} = A^{-1} \cdot \left( \mathbf{x} - \mathbf{b} \right)\]

즉,

\[\begin{bmatrix} \hat{\xi} \\ \hat{\eta} \\ \hat{\zeta} \end{bmatrix} = A^{-1} \cdot \left( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix} \right)\]

이 역변환은 다음과 같은 상황에서 사용된다:

• 적분점이 실제 요소 상에 주어졌을 때, 기준 사면체 좌표로 변환해 shape function 등을 평가할 때
• 해석 해를 시각화하거나 후처리할 때, 기준 공간에서의 정보를 물리 공간으로 변환하기 위해

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10. 과제 및 추가 연구

물론입니다! 지금까지의 내용을 바탕으로 한 10. 과제 및 추가 연구 항목을 아래에 구성해드렸습니다. 이 항목은 개념 정리, 실제 계산 적용, 프로그래밍 구현, 심화 학습으로 이어지는 단계적 학습 목표와 탐구 과제를 포함합니다.

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10. 과제 및 추가 연구 -> ChatGPT 요청 결과

기본 개념 복습

1. 기초 용어 정리

   • 유한 요소법(FEM), 요소(Element), 자유도(DOF), 기저 함수(Shape Function), 자코비안(Jacobian), 아핀 변환(Affine Transformation)의 정의와 역할을 스스로 설명해보기
   • 1D, 2D, 3D 요소의 차이점 요약 정리하기

2. 수식 유도 및 손 계산

   • 1차원 선형 요소에서 해 $u_h(x)$의 수식 유도 및 손계산으로 근사값 구하기
   • 선형 삼각형 요소에서의 아핀 변환 행렬 $A$와 역변환 수식 유도해 보기

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계산 및 수치 예제

1. 1D FEM 수치 구현 과제

   • 구간 [0,1]을 2개 요소로 나눈 FEM 모델에서 각 요소의 강성 행렬을 계산하고 전체 시스템 방정식 조립해보기
   • Dirichlet 경계 조건을 주고 자유도 해 $\alpha_i$를 구하는 시스템 구현

2. 2D 삼각형 요소의 자코비안 계산

   • 세 꼭짓점이 주어진 실제 삼각형에서 아핀 행렬 $A$ 구성
   • 자코비안 $J = \det(A)$, $J^{-1}$을 계산하고 도함수 변환에 활용

3. 3D 사면체 요소의 아핀 변환 적용

   • 주어진 사면체의 좌표 데이터를 가지고 아핀 변환 $A$ 및 $A^{-1}$을 계산
   • 기준 좌표 $(\hat{\xi}, \hat{\eta}, \hat{\zeta})$에서 실제 좌표 $(x, y, z)$, 반대 방향 변환도 수행

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프로그래밍

1. Python으로 FEM 구현

   • 1D 또는 2D FEM 해석 프로그램 구성 (예: 열전달, 변위 해석)
   • 요소 조립, 형상 함수, 자코비안, 적분, 경계조건 적용 등 전체 흐름 포함
   • [선택] matplotlib를 이용한 형상 함수 시각화

2. 기저 함수 시각화

   • 1D: $\psi_1(x) = 1 - x, \ \psi_2(x) = x$
   • 2D: 선형 삼각형 요소의 $\psi_1(\hat{x}, \hat{y}) = 1 - \hat{x} - \hat{y}$, 등고선 또는 색상 맵으로 시각화

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📚 심화 학습 주제

1. 고차 요소 탐색

   • 2차 또는 3차 기저 함수의 정의 및 활용 방법 정리
   • 6-node 삼각형 요소, 10-node 사면체 요소 등 고차 보간 요소 구조 학습

2. 수치 적분(Gauss quadrature)

   • 1D, 2D, 3D에서 사용되는 Gaussian Quadrature 규칙 학습
   • 정규 요소 기준으로 수치 적분 공식 직접 구현

3. 응용 분야 조사

   • 구조 해석, 전자기 해석, 유체 흐름 등 FEM이 사용되는 실제 산업 사례 조사
   • 상업용 FEM 소프트웨어(예: ANSYS, Abaqus, COMSOL 등) 기능 비교

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목표 정리

단계	목표
① 개념 이해	FEM, 아핀변환, 자코비안 등 핵심 용어 및 수식 숙지
② 계산 능력	요소 단위의 수식 및 자코비안 계산 역량
③ 프로그래밍	Python/MATLAB 기반 FEM 코드 구현
④ 확장 탐구	고차 요소, 수치 적분, 산업 응용 이해